Prozentrechnung verstehen: Erst die Bezugsgröße finden
Die Formel ist selten das Problem. Die meisten Fehler entstehen, weil unklar bleibt, welcher Wert 100 Prozent entspricht. Wer die Bezugsgröße zuerst benennt, löst Rabatt, Anteil und Veränderung deutlich sicherer.
Drei Größen, eine klare Beziehung
Der Grundwert ist das Ganze und entspricht 100 Prozent. Der Prozentwert ist der betrachtete Teil davon. Der Prozentsatz beschreibt das Verhältnis zwischen Teil und Ganzem. In einer Aufgabe sollte deshalb zuerst ein kurzer Satz stehen: Welcher Wert ist das Ganze?
Bei einem Pullover mit ursprünglichem Preis von 80 Euro und 25 Prozent Rabatt sind 80 Euro der Grundwert, 25 Prozent der Prozentsatz und 20 Euro der Prozentwert. Der neue Preis von 60 Euro ist erst das Ergebnis nach dem Abzug.
Die drei Grundformeln
Ist der Grundwert G und der Prozentsatz p bekannt, lautet der Prozentwert W = G × p ÷ 100. Fehlt der Prozentsatz, gilt p = W ÷ G × 100. Der Grundwert ergibt sich aus G = W × 100 ÷ p. Hinter allen drei Varianten steckt derselbe Vergleich.
Ein Überschlag hilft: 25 Prozent sind ein Viertel. Ein Viertel von 80 muss daher 20 ergeben.
Bei einer Veränderung zählt der Ausgangswert
Die Veränderungsrate berechnet sich aus (neuer Wert − alter Wert) ÷ alter Wert × 100. Steigt ein Wert von 80 auf 100, beträgt die Differenz 20. Bezogen auf 80 sind das 25 Prozent. Fällt der Wert anschließend von 100 auf 80, werden dieselben 20 nun auf 100 bezogen; der Rückgang beträgt 20 Prozent.
Diese Asymmetrie ist im Alltag wichtig. Ein Verlust von 50 Prozent braucht anschließend einen Gewinn von 100 Prozent, damit der Ausgangswert wieder erreicht wird.
Prozent und Prozentpunkte nicht verwechseln
Steigt eine Quote von 20 auf 25 Prozent, beträgt der Abstand fünf Prozentpunkte. Relativ zum alten Wert 20 ist die Quote jedoch um 25 Prozent gestiegen. Prozentpunkte beschreiben die Differenz zweier bereits in Prozent angegebener Werte; Prozent beschreibt eine relative Änderung.
Das Statistische Bundesamt verwendet für Veränderungsraten ebenfalls den ursprünglichen Wert im Nenner. Genau dieser Bezug entscheidet, ob zwei Angaben sinnvoll vergleichbar sind.
Vom Endpreis zurück zum ursprünglichen Preis
Nach 20 Prozent Rabatt entsprechen 80 Euro nicht 80 Prozent Rabatt, sondern 80 Prozent des ursprünglichen Preises. Der alte Preis lautet daher 80 ÷ 0,80 = 100 Euro. Nach einem Aufschlag von 19 Prozent wird entsprechend durch 1,19 geteilt.
Bei der Rückwärtsrechnung wird nicht einfach derselbe Prozentbetrag addiert. Der Prozentwert bezieht sich sonst auf eine andere Basis.
Vier kurze Kontrollfragen
- Welcher Wert entspricht in dieser Aufgabe 100 Prozent?
- Suche ich einen Anteil, einen Prozentsatz oder den ursprünglichen Wert?
- Liegt das Ergebnis in einer plausiblen Größenordnung?
- Vergleiche ich Prozentwerte oder die Differenz in Prozentpunkten?